Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece quando temos a raiz quadrada de uma soma de um quadrado e uma constante, tipo . Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, identificamos que , então . A substituição trigonométrica ideal para é . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Então, a integral fica:

Passo 6

A integral é uma integral padrão. A fórmula conhecida é:
Então, multiplicando por 2:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável . Sabemos que:
E, pelo triângulo retângulo:
E:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(d)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(i)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(x)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(d)