Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(i) integral raizx^2+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral aparece quando temos a raiz quadrada de uma soma de um quadrado e uma constante, tipo . Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, identificamos que x = raiz2 tantheta , então . A substituição trigonométrica ideal para é . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = raiz2 sec^2theta , dtheta em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituímos integral raiz(raiz2 tantheta)^2 + 2 cdot raiz2 sec^2theta , dtheta e raiz2 tan^2theta + 2 = raiz2(tan^2theta + 1) = raiz2 sec^2theta = raiz2 sectheta na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Então, a integral fica:
integral raiz2 sectheta cdot raiz2 sec^2theta , dtheta = 2 integral sec^3theta , dtheta

Passo 6

A integral integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| + C é uma integral padrão. A fórmula conhecida é:
2 integral sec^3theta , dtheta = sectheta tantheta + ln |sectheta + tantheta| + C
Então, multiplicando por 2:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável x = raiz2 tantheta implies tantheta = xraiz2 . Sabemos que:
sectheta = raiz1 + tan^2theta = raiz1 + x^22 = raizx^2 + 2raiz2
E, pelo triângulo retângulo:
sectheta tantheta = raizx^2 + 2raiz2 cdot xraiz2 = x raizx^2 + 22
sectheta + tantheta = raizx^2 + 2raiz2 + xraiz2 = raizx^2 + 2 + xraiz2
E:

Resposta

Portanto, a integral x raizx^2 + 22 + ln | raizx^2 + 2 + xraiz2 | + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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