Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
§ integral x^4 cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^4 cos (2 x) , dx. Esse exercício entra na área de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar qual parte da integral vamos derivar e qual vamos integrar em cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes de nossa integral para u e dv. Vamos deixar u = x^4 porque, ao derivar, o grau do polinômio diminui, o que é útil. Assim, dv = cos(2x) , dx.

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
du = 4x^3 , dx
v = integral cos(2x) , dx = sin(2x)2

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^4 cos(2x) , dx = x^4 cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot 4x^3 , dx
= x^4 sin(2x)2 - 2 integral x^3 sin(2x) , dx

Passo 5

Precisamos agora resolver a nova integral integral x^3 sin(2x) , dx usando novamente a integração por partes. Desta vez, vamos deixar u = x^3 e dv = sin(2x) , dx.

Passo 6

Derivando e integrando:
du = 3x^2 , dx
v = -cos(2x)2

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral x^3 sin(2x) , dx = -x^3 cos(2x)2 + 32 integral x^2 cos(2x) , dx

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
integral x^4 cos(2x) , dx = x^4 sin(2x)2 - 2 ( -x^3 cos(2x)2 + 32 integral x^2 cos(2x) , dx )
= x^4 sin(2x)2 + x^3 cos(2x) - 3 integral x^2 cos(2x) , dx

Passo 9

Agora, vamos resolver integral x^2 cos(2x) , dx usando integração por partes mais uma vez. Definimos u = x^2 e dv = cos(2x) , dx.

Passo 10

Derivando e integrando:
du = 2x , dx
v = sin(2x)2

Passo 11

Aplicando a fórmula:
integral x^2 cos(2x) , dx = x^2 cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot 2x , dx
= x^2 sin(2x)2 - integral x sin(2x) , dx

Passo 12

Precisamos agora resolver integral x sin(2x) , dx. Vamos usar integração por partes mais uma vez, com u = x e dv = sin(2x) , dx.

Passo 13

Derivando e integrando:
du = dx
v = -cos(2x)2

Passo 14

Aplicando a f��rmula:
integral x sin(2x) , dx = -x cos(2x)2 + 12 integral cos(2x) , dx
= -x cos(2x)2 + sin(2x)4

Passo 15

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 cos(2x) , dx = x^2 sin(2x)2 - ( -x cos(2x)2 + sin(2x)4 )
= x^2 sin(2x)2 + x cos(2x)2 - sin(2x)4

Passo 16

Substituindo de volta na expressão de $ \int x^{4} \cos(2x) , dx$:
integral x^4 cos(2x) , dx
integral x^4 cos(2x) , dx = x^4 sin(2x)2 + x^3 cos(2x) - 3 ( x^2 sin(2x)2 + x cos(2x)2 - sin(2x)4 )

Resposta

A integral avaliada é:
integral x^4 cos(2x) , dx = x^4 sin(2x)2 + x^3 cos(2x) - 3x^2 sin(2x)2 - 3x cos(2x)2 + 3 sin(2x)4 + C
Onde C é a constante de integração.

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