Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
§
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício entra na área de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar qual parte da integral vamos derivar e qual vamos integrar em cada passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher partes de nossa integral para
e
. Vamos deixar
porque, ao derivar, o grau do polinômio diminui, o que é útil. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Precisamos agora resolver a nova integral
usando novamente a integração por partes. Desta vez, vamos deixar
e
.
Passo 6
Derivando e integrando:
Passo 7
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Passo 9
Agora, vamos resolver
usando integração por partes mais uma vez. Definimos
e
.
Passo 10
Derivando e integrando:
Passo 11
Aplicando a fórmula:
Passo 12
Precisamos agora resolver
. Vamos usar integração por partes mais uma vez, com
e
.
Passo 13
Derivando e integrando:
Passo 14
Aplicando a f��rmula:
Passo 15
Voltando à expressão anterior:
Passo 16
Substituindo de volta na expressão de $ \int x^{4} \cos(2x) , dx$:
Resposta
A integral avaliada é:
Onde
é a constante de integração.
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