Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(e) integral sen(x)tg^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve funções trigonométricas. O problema é calcular a integral de em relação a sen(x)tg^2(x). Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno. Sabemos que . Então, .

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
Simplificando a fração:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos reescrever cos^2(x) usando a identidade trigonométrica . Assim:
Isso separa a integral em duas partes mais simples:

Passo 5

Agora, vamos lembrar como integrar cada termo:
  • A integral de csc(x) é -ln|cot(x) + csc(x)| + C.
  • A integral de é sen(x).
Então, substituindo:
-cos(x) + C

Resposta

A integral de é:
sen(x)tg^2(x) dx

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