Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função em relação a , usando o método de integração por partes. Integração por partes é uma técnica que utilizamos quando temos um produto de duas funções e queremos encontrar a integral desse produto. Vamos precisar identificar quais partes da nossa função serão e para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher e de forma que e sejam fáceis de calcular. No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , precisamos integrar :
A função é o inverso da função hiperbólica seno, conhecida como arco seno hiperbólico. A integral de pode ser encontrada usando a substituição.

Passo 4

Vamos calcular :
Fazendo a substituição , então ou . Substituindo na integral:
A integral de é conhecida:
Portanto:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , , e , vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que a integral aparece dos vezes. Vamos chamar essa integral de :
Somando de ambos os lados:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral . Vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja , onde é a função seno hiperbólico.
Diferenciando, temos:
Substituindo na integral:
Sabemos que , então:
Usando a identidade :
Voltando para :
E usando :
Substituindo e , :

Passo 8

Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:

Passo 9

Agora, isolando :
Simplificando:

Resposta

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(m)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(g)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(e)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(j)