Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(t) integral x argsenh(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função em relação a , usando o método de integração por partes. Integração por partes é uma técnica que utilizamos quando temos um produto de duas funções e queremos encontrar a integral desse produto. Vamos precisar identificar quais partes da nossa função serão e para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma que e sejam fáceis de calcular. No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral argsenh(2x) , dx :
Para encontrar , precisamos integrar :
A função é o inverso da função hiperbólica seno, conhecida como arco seno hiperbólico. A integral de pode ser encontrada usando a substituição.

Passo 4

Vamos calcular v = integral argsenh(2x) , dx :
v = integral argsenh(t) cdot dt2 = 12 integral argsenh(t) , dt
Fazendo a substituição integral argsenh(t) , dt = t cdot argsenh(t) - raiz1 + t^2 + C , então v = 12 ( t cdot argsenh(t) - raiz1 + t^2 ) + C = 12 ( 2x cdot argsenh(2x) - raiz1 + (2x)^2 ) + C ou v = x cdot argsenh(2x) - 12 raiz1 + 4x^2 + C . Substituindo na integral:
A integral de é conhecida:
Portanto:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral x cdot argsenh(2x) , dx = x ( x cdot argsenh(2x) - 12 raiz1 + 4x^2 ) - integral ( x cdot argsenh(2x) - 12 raiz1 + 4x^2 ) cdot 1 , dx , integral x cdot argsenh(2x) , dx = x^2 cdot argsenh(2x) - x2 raiz1 + 4x^2 - integral x cdot argsenh(2x) , dx + 12 integral raiz1 + 4x^2 , dx e , vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que a integral I = x^2 cdot argsenh(2x) - x2 raiz1 + 4x^2 - I + 12 integral raiz1 + 4x^2 , dx aparece dos vezes. Vamos chamar essa integral de 2I = x^2 cdot argsenh(2x) - x2 raiz1 + 4x^2 + 12 integral raiz1 + 4x^2 , dx :
Somando de ambos os lados:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral dx = 12 cosh(t) , dt . Vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja integral raiz1 + 4x^2 , dx = integral raiz1 + 4 ( 12 sinh(t) )^2 cdot 12 cosh(t) , dt = integral raiz1 + sinh^2(t) cdot 12 cosh(t) , dt , onde integral cosh(t) cdot 12 cosh(t) , dt = 12 integral cosh^2(t) , dt é a função seno hiperbólico.
Diferenciando, temos:
12 integral 1 + cosh(2t)2 , dt = 14 integral 1 , dt + 14 integral cosh(2t) , dt = t4 + 18 sinh(2t) + C
Substituindo na integral:
t = argsenh(2x)
Sabemos que 14 argsenh(2x) + 18 cdot 2 sinh(t) cosh(t) + C = 14 argsenh(2x) + 14 sinh(t) cosh(t) + C , então:
14 argsenh(2x) + 14 cdot 2x cdot raiz1 + 4x^2 + C = 14 argsenh(2x) + x2 raiz1 + 4x^2 + C
Usando a identidade :
Voltando para :
E usando :
Substituindo e , :

Passo 8

Voltando à equação anterior:
2I = x^2 cdot argsenh(2x) - x2 raiz1 + 4x^2 + 12 ( 14 argsenh(2x) + x2 raiz1 + 4x^2 ) + C
Simplificando:
2I = x^2 cdot argsenh(2x) - x2 raiz1 + 4x^2 + 18 argsenh(2x) + 14 x raiz1 + 4x^2 + C
Agrupando termos semelhantes:
2I = ( x^2 + 18 ) argsenh(2x) - x2 raiz1 + 4x^2 + 14 x raiz1 + 4x^2 + C
Simplificando os coeficientes:
2I = ( x^2 + 18 ) argsenh(2x) - 14 x raiz1 + 4x^2 + C

Passo 9

Agora, isolando I = 12 ( x^2 + 18 ) argsenh(2x) - 18 x raiz1 + 4x^2 + C :
I = x^22 argsenh(2x) + 116 argsenh(2x) - 18 x raiz1 + 4x^2 + C
Simplificando:

Resposta

A integral de integral x cdot argsenh(2x) , dx = x^22 argsenh(2x) + 116 argsenh(2x) - 18 x raiz1 + 4x^2 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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