Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(t)
(t)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função
em relação a
, usando o método de integração por partes. Integração por partes é uma técnica que utilizamos quando temos um produto de duas funções e queremos encontrar a integral desse produto. Vamos precisar identificar quais partes da nossa função serão
e
para aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher
e
de forma que
e
sejam fáceis de calcular. No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
A função
é o inverso da função hiperbólica seno, conhecida como arco seno hiperbólico. A integral de
pode ser encontrada usando a substituição.
Passo 4
Vamos calcular
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Substituindo na integral:
A integral de
é conhecida:
Portanto:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
,
,
e
, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que a integral
aparece dos vezes. Vamos chamar essa integral de
:
Somando
de ambos os lados:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral
. Vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja
, onde
é a função seno hiperbólico.
Diferenciando, temos:
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Usando a identidade
:
Voltando para
:
E usando
:
Substituindo
e
,
:
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Agora, isolando
:
Simplificando:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(m)
(m)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(g)
(g)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(e)
(e)
Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(j)
(j)