Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve integrais que têm potências de funções trigonométricas. Pra resolver isso, vamos precisar usar substituições trigonométricas e algumas identidades básicas do seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Reescrevemos a fração usando potências de seno e cosseno:
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma substituição que facilite a integral. Observamos que temos uma potência de seno e uma potência de coseno no denominador. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição
, já que
.
Passo 4
Vamos derivar
:
Sabemos que
, então
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em termos de
:
Mas sabemos que
. Portanto,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, basta integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(e)
(e)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(t)
(t)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(f)
(f)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(b)
(b)