Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve integrais que têm potências de funções trigonométricas. Pra resolver isso, vamos precisar usar substituições trigonométricas e algumas identidades básicas do seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Reescrevemos a fração usando potências de seno e cosseno:

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma substituição que facilite a integral. Observamos que temos uma potência de seno e uma potência de coseno no denominador. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição , já que .

Passo 4

Vamos derivar :
Sabemos que , então .

Passo 5

Vamos reescrever a integral em termos de :
Mas sabemos que . Portanto, .

Passo 6

Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, basta integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(e)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(t)
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(f)
Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(b)