Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funçōes trigonométricas:
(j) integral sen^4(x)cos ^6(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve integrais que têm potências de funções trigonométricas. Pra resolver isso, vamos precisar usar substituições trigonométricas e algumas identidades básicas do seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Reescrevemos a fração usando potências de seno e cosseno:
integral sin^4(x)cos^6(x) , dx = integral sin^4(x) cdot cos^-6(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma substituição que facilite a integral. Observamos que temos uma potência de seno e uma potência de coseno no denominador. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição , já que .

Passo 4

Vamos derivar dudx = sec^2(x) Rightarrow du = sec^2(x) , dx :
Sabemos que , então .

Passo 5

Vamos reescrever a integral em termos de integral sin^4(x) cdot cos^-6(x) , dx = integral ( sin(x)cos(x) )^4 cdot cos^-2(x) , dx = integral u^4 cdot cos^-2(x) , dx :
Mas sabemos que . Portanto, .

Passo 6

Substituindo na integral:
integral u^4 , du

Passo 7

Agora, basta integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original u^55 + C = tan^5(x)5 + C , lembrando que :

Resposta

A integral integral sin^4(x)cos^6(x) , dx = tan^5(x)5 + C é igual a , onde é a constante de integração.

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