Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz quadrada e encontrar uma substituição que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar, podemos reescrever isso como
, e completar o quadrado.
Passo 3
Completando o quadrado para
, temos:
Então, a expressão dentro da raiz fica
.
Passo 4
Agora, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
, o que significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Sabemos que
, então a integral simplifica para:
Passo 6
Expandindo
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integramos termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, então
. Além disso,
e
.
Substituindo de volta, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
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(j)
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(e)
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(b)
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(g)
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