Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz quadrada e encontrar uma substituição que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Para facilitar, podemos reescrever isso como , e completar o quadrado.

Passo 3

Completando o quadrado para , temos:
Então, a expressão dentro da raiz fica .

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar , o que significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Sabemos que , então a integral simplifica para:

Passo 6

Expandindo , temos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Integramos termo a termo:
Portanto, a integral se torna:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original . Lembrando que , então . Além disso, e .
Substituindo de volta, temos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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