Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(f) integral x^2raiz2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz quadrada e encontrar uma substituição que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Para facilitar, podemos reescrever isso como , e completar o quadrado.

Passo 3

Completando o quadrado para -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x) = -((x - 1)^2 - 1) = - (x - 1)^2 + 1 , temos:
Então, a expressão dentro da raiz fica .

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar , o que significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral (1 + sin theta)^2raiz1 - sin^2 theta cos theta , dtheta
Sabemos que integral (1 + sin theta)^2cos theta cos theta , dtheta = integral (1 + sin theta)^2 , dtheta , então a integral simplifica para:

Passo 6

Expandindo 1 + 2sin theta + sin^2 theta , temos:
integral (1 + 2sin theta + sin^2 theta) dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral 1 , dtheta = theta
integral 2sin theta , dtheta = -2cos theta
integral sin^2 theta , dtheta = theta2 - sin 2theta4
Portanto, a integral se torna:
theta - 2cos theta + theta2 - sin 2theta4 + C = 3theta2 - 2cos theta - sin 2theta4 + C

Passo 8

Agora, voltamos à variável original 32 arcsin(x - 1) - 2raiz1 - (x - 1)^2 - 2(x - 1)raiz1 - (x - 1)^24 + C . Lembrando que 32 arcsin(x - 1) - 2raiz2x - x^2 - (x - 1)raiz2x - x^22 + C , então . Além disso, e .
Substituindo de volta, temos:
Simplificando:

Resposta

A integral 32 arcsin(x - 1) - 2raiz2x - x^2 - (x - 1)raiz2x - x^22 + C é igual a:

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