Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(m) integral x cosec^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x cosec^2(x) , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por partes, uma técnica que usamos quando temos um produto de duas funções. Aqui, a gente vai precisar identificar qual parte vai ser “u” e qual vai ser “dv” para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher qual função será u e qual será dv na nossa integral.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = x (porque a derivada de x é simples)
  • dv = cosec^2(x) , dx
Agora, vamos calcular du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = ddx(x) , dx = 1 , dx
Calculando v:
Sabemos que a integral de cosec^2(x) é -cot(x), então:
v = -cot(x)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cosec^2(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-cot(x)) - integral (-cot(x)) cdot 1 , dx
Simplificando:
= -x cot(x) + integral cot(x) , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral cot(x) , dx. Sabemos que:
integral cot(x) , dx = ln|sin(x)| + C

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
- x cot(x) + ln|sin(x)| + C

Resposta

A integral integral x cosec^2(x) , dx é igual a:
- x cot(x) + ln|sin(x)| + C

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