Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(b) integral d xx^3 raizx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão x = 3 sec theta . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Para aproveitar isso, vamos fazer a substituição trigonométrica:

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = 3 sec theta tan theta , dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo integral dxx^3 raizx^2-9 = integral 3 sec theta tan theta , dtheta(3 sec theta)^3 raiz(3 sec theta)^2 - 9 e na integral original:

Passo 5

Simplificando os termos dentro da integral:
(3 sec theta)^3 = 27 sec^3 theta
raiz9 sec^2 theta - 9 = raiz9 (sec^2 theta - 1) = raiz9 tan^2 theta = 3 tan theta
Então, a integral fica:
integral 3 sec theta tan theta , dtheta27 sec^3 theta cdot 3 tan theta = integral 3 sec theta tan theta81 sec^3 theta tan theta , dtheta

Passo 6

Cancelando termos semelhantes:
3 sec theta tan theta81 sec^3 theta tan theta = 381 sec^2 theta = 127 cos^2 theta
Então, a integral simplifica para:
127 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 7

Agora, usamos a identidade trigonométrica para cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 :
127 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 154 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando termo a termo:
154 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Simplificando:
theta54 + sin 2theta108 + C

Passo 9

Agora, voltamos para a variável original x = 3 sec theta implies sec theta = x3 implies theta = sec^-1(x3) . Sabemos que:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
E também:
sin theta = raizx^2 - 9x, cos theta = 3x
sin 2theta = 2 cdot raizx^2 - 9x cdot 3x = 6 raizx^2 - 9x^2

Resposta

Portanto, a integral é:
integral dxx^3 raizx^2-9 = 154 sec^-1(x3) + raizx^2 - 918 x^2 + C
Onde é a constante de integração.

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