Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Para aproveitar isso, vamos fazer a substituição trigonométrica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Cancelando termos semelhantes:
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, usamos a identidade trigonométrica para :
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que:
E também:

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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