Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular
usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, observamos a expressão
. Isso se parece com a identidade trigonométrica
. Para aproveitar isso, vamos fazer a substituição trigonométrica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Cancelando termos semelhantes:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, usamos a identidade trigonométrica para
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que:
E também:
Resposta
Portanto, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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(f)
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(j)
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(g)
(g)
Calcule a derivada das funções abaixo: