Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(d) integral 1raiz1+x^2 d x

Passo 1

Vamos ver o que a questão pede. Precisamos calcular a integral integral 1raiz1+x^2 d x usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e mudar a variável da integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que 1 + x^2 parece com a identidade 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta). Então, vamos definir:
x = tan(theta)

Passo 3

Agora, vamos calcular dx e a expressão para raiz1 + x^2:
dx = sec^2(theta) dtheta
raiz1 + x^2 = raiz1 + tan^2(theta) = raizsec^2(theta) = sec(theta)

Passo 4

Substituindo essas expressões na integral original:
integral 1raiz1 + x^2 d x = integral 1sec(theta) cdot sec^2(theta) dtheta = integral sec(theta) dtheta

Passo 5

A integral de sec(theta) é conhecida e é:
integral sec(theta) dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)| + C

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original x. Sabemos que x = tan(theta), então sec(theta) = raiz1 + x^2. Substituindo:
ln|raiz1 + x^2 + x| + C

Resposta

integral 1raiz1+x^2 d x = ln|x + raiz1+x^2| + C

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