Determine: g) O fluxo de sobre onde e é qualquer superfície cujo bordo seja parametrizado por com e normal apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o fluxo de sobre uma superfície , onde . A superfície tem como bordo a curva parametrizada por com e normal apontando para cima.
Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de linha desse campo ao longo da curva de borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial . O rotacional, ou , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. É dado por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular .
Passo 3
Para calcular o rotacional, usamos o determinante da seguinte matriz:
Calculando cada componente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que o fluxo de sobre é igual à integral de linha de ao longo da curva de borda :
Então, vamos parametrizar a curva dada por para .
Passo 5
Primeiro, encontramos derivando em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos na função :
Passo 7
Calculamos o produto escalar :
Passo 8
Integramos essa expressão de a :
Calculando cada integral separadamente:
: Esta integral é zero devido à simetria do integrando sobre o intervalo completo.