Determine: g) O fluxo de sobre onde e é qualquer superfície cujo bordo seja parametrizado por com e normal apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o fluxo de sobre uma superfície , onde . A superfície tem como bordo a curva parametrizada por com e normal apontando para cima.
Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de linha desse campo ao longo da curva de borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial . O rotacional, ou , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. É dado por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular .

Passo 3

Para calcular o rotacional, usamos o determinante da seguinte matriz:
Calculando cada componente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que o fluxo de sobre é igual à integral de linha de ao longo da curva de borda :
Então, vamos parametrizar a curva dada por para .

Passo 5

Primeiro, encontramos derivando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos na função :

Passo 7

Calculamos o produto escalar :

Passo 8

Integramos essa expressão de a :
Calculando cada integral separadamente:
  1. : Esta integral é zero devido à simetria do integrando sobre o intervalo completo.

Resposta

O fluxo de sobre é igual a .

Exercícios relacionados

Determine: f) O fluxo de sobre onde , onde com .
Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b)
Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f)
Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
(h)