Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
(b) sen(k x)/k^2 - x cos(k x)/k + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de integração por partes. A gente precisa calcular a integral indefinida do que você mandou aí. Pra isso, vamos precisar saber como aplicar a fórmula de integração por partes, que é ótima quando temos o produto de duas funções. Então, bora lá entender quais funções vamos identificar como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, a gente vai escolher quais partes da expressão vamos chamar de e . A escolha certa facilita bastante a resolução.

Passo 3

Dando uma olhada na expressão que queremos integrar, que provavelmente é , vamos escolher:
Essa escolha é legal porque a derivada de vai simplificar a expressão, e a integral de é fácil de calcular.

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Aqui usamos a integral básica de que resulta em .

Passo 5

Aplicando agora a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos calcular a integral restante:
Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral é:

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