Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular algumas integrais relacionadas à curva
no intervalo
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções parametrizadas. Vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de integrais e entender como integrar funções como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva
. Ela é dada por
, onde:
Vamos calcular as integrais dessas duas funções no intervalo de
a
.
Passo 3
Vamos começar com a integral de
. A integral de
em relação a
é uma operação básica de cálculo.
A integral indefinida de
é:
Onde
é a constante de integração.
Como queremos a integral definida de
a
, substituímos os limites:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
. A integração de
é um pouco mais trabalhosa, mas vamos por partes.
Usamos integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
A fórmula da integração por partes é:
Aplicando:
Onde
é a constante de integração.
Agora, vamos calcular a integral definida de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
As integrals calculadas são:
e
Exercícios relacionados
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(f)
(f)
Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(h)
(h)
Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva
nos pontos
e
.