Calcule as seguintes integrais:
gamma(t) = (t, ln(t)), t pertence a [1, e].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular algumas integrais relacionadas à curva no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções parametrizadas. Vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de integrais e entender como integrar funções como t e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva gamma(t). Ela é dada por , onde:
Vamos calcular as integrais dessas duas funções no intervalo de 1 a e.

Passo 3

Vamos começar com a integral de . A integral de t em relação a t é uma operação básica de cálculo.
A integral indefinida de t é:
Onde C é a constante de integração.
Como queremos a integral definida de 1 a e, substituímos os limites:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de . A integração de é um pouco mais trabalhosa, mas vamos por partes.
Usamos integração por partes, onde:
A fórmula da integração por partes é:
Aplicando:
Onde C é a constante de integração.
Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a e:
Sabemos que e , então:

Resposta

As integrals calculadas são:
e

Exercícios relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(f) x = sen(t), y = cos(2 t), t in [0, 2 pi]
Para cada um dos itens abaixo, calcule F'(t).
F(t) = (e^sen(t), 2^(cossec(t^2 + 1)), sen(cos(raiz_cubica(t))))
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(h) x = 3 cos(t), y = 2 sen(t), t em [0, 2 pi]
Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva r(t) = <sen(pi t), 2 sen(pi t), cos(pi t)> nos pontos t = 1/2 e t = 1 / 6.