Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva nos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o ponto onde as retas tangentes à curva se cruzam nos pontos correspondentes aos valores e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores para encontrar as tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos na curva para e . Substituindo esses valores na função :
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas da função para encontrar os vetores tangentes nesses pontos. A derivada nos dá a direção da tangente à curva em qualquer ponto :
Para :
Para :
Passo 4
Com os pontos e os vetores tangentes, podemos escrever as equações paramétricas das duas retas tangentes. A equação de uma reta no espaço é dada por:
onde é o ponto inicial, é o vetor direção, e é o parâmetro.
Para :
Para :
Passo 5
Para encontrar o ponto de interseção das duas retas, precisamos igualar as coordenadas correspondentes das duas equações paramétricas e resolver o sistema resultante para os parâmetros e :
Vamos resolver a primeira equação para :
Passo 6
Agora, usando o valor de encontrado, vamos verificar a segunda equação:
Está certo! Agora, vamos usar o valor de na terceira equação para encontrar :
Passo 7
Agora que temos os valores de e , podemos substituir em qualquer uma das equações paramétricas para encontrar o ponto de interseção. Vamos usar :