Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral imprópria
. Vamos usar cálculo integral, especificamente o conceito de integral imprópria porque os limites de integração vão até infinito. Para resolver, a gente vai precisar saber como integrar funções racionais e entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função
. Para isso, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar
. Assim, a gente deriva
em relação a
:
Percebe que
aparece no numerador da nossa integral! Então, a integral fica:
Passo 3
Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de
a
. A integral impropria é definida como o limite quando
vai para
e
vai para
de:
Passo 4
Vamos analisar o que acontece quando
e
tendem ao infinito. Tanto
quanto
vão para
quando
e
vão para
e
, respectivamente. Então, temos:
Então, a diferença
parece ser
, que é uma forma indeterminada. Mas vamos observar algo interessante aqui!
Passo 5
Observe que a função
é ímpar, ou seja,
. Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de
a
, o resultado é sempre zero. Matemáticamente:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente.
Passo 6
Como isso vale para qualquer
, podemos concluir que, quando
tende a
, a integral também tende a zero:
Portanto, a integral imprópria
converge e o valor dela é zero.
Resposta
A integral imprópria
converge e é igual a 0.
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, eixos
e
e
, à esquerda da reta
.