Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem: integral-infty^+infty 2 x(x^2+1)^-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral imprópria . Vamos usar cálculo integral, especificamente o conceito de integral imprópria porque os limites de integração vão até infinito. Para resolver, a gente vai precisar saber como integrar funções racionais e entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx . Para isso, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar integral 2xx^2 + 1 , dx = integral duu = ln|u| + C = ln(x^2 + 1) + C . Assim, a gente deriva em relação a :
Percebe que aparece no numerador da nossa integral! Então, a integral fica:

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de integrala^b 2xx^2 + 1 , dx = ln(b^2 + 1) - ln(a^2 + 1) a . A integral impropria é definida como o limite quando vai para e vai para de:

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando lima to -infty ln(a^2 + 1) = ln(+infty) = +infty e limb to +infty ln(b^2 + 1) = ln(+infty) = +infty tendem ao infinito. Tanto quanto vão para quando e vão para e , respectivamente. Então, temos:
Então, a diferença parece ser , que é uma forma indeterminada. Mas vamos observar algo interessante aqui!

Passo 5

Observe que a função integral-b^b 2xx^2 + 1 , dx = 0 é ímpar, ou seja, . Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de a , o resultado é sempre zero. Matemáticamente:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente.

Passo 6

Como isso vale para qualquer limb to +infty integral-b^b 2xx^2 + 1 , dx = 0 , podemos concluir que, quando tende a , a integral também tende a zero:
Portanto, a integral imprópria converge e o valor dela é zero.

Resposta

A integral imprópria converge e é igual a 0.

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