Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem: integral0^2 d xraiz2 x-x^2 d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral imprópria . Vamos utilizar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que pode ser reescrito como .

Passo 3

Assim, a integral fica . Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral 4sinthetacosthetaraiz2(2sin^2theta) - (2sin^2theta)^2 dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
2(2sin^2theta) - (2sin^2theta)^2 = 4sin^2theta - 4sin^4theta = 4sin^2theta(1 - sin^2theta) = 4sin^2thetacos^2theta
Portanto, a raiz quadrada fica .

Passo 6

A integral simplifica para:
integral 4sinthetacostheta2sinthetacostheta dtheta = integral 2 dtheta = 2theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável . Como , temos .

Passo 8

Portanto, a integral definida é:
2arcsin(raizx2) |0^2
Calculando os limites:
Para arcsin(raiz22) = arcsin(1) = pi2 :
arcsin(raiz02) = arcsin(0) = 0
Para :

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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