Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral imprópria . Vamos utilizar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que pode ser reescrito como .

Passo 3

Assim, a integral fica . Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz quadrada fica .

Passo 6

A integral simplifica para:

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável . Como , temos .

Passo 8

Portanto, a integral definida é:
Calculando os limites:
Para :
Para :

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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