Verifique se é possível encontrar um número real medida de área da região entre os gráficos de: , e , à direita da reta .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se é possível calcular a área da região delimitada pelos gráficos das funções , (que é o eixo x) e pela reta , mas apenas à direita dessa reta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de funções para encontrar áreas.

Passo 2

Vamos visualizar a região que queremos calcular. A função é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. A reta é uma linha vertical que corta a hipérbole no ponto . O eixo é simplesmente o eixo x. Queremos a área à direita de , ou seja, para valores de maiores que 1.

Passo 3

Para encontrar essa área, usamos a integral definida. A integral nos dá a soma das áreas infinitesimais sob a curva de uma função entre dois pontos. No nosso caso, vamos integrar a função de até o infinito, já que queremos a área toda à direita de .

Passo 4

A fórmula da integral definida para nossa função é:
Agora, vamos calcular essa integral para ver se ela converge para um valor real.

Passo 5

A integral de em relação a é . Então, aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, analisamos o limite . Como o logaritmo de cresce sem limites à medida que aumenta, esse limite é infinito.

Resposta

Não é possível encontrar um número real que represente a área da região descrita, pois a área é infinita.

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Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Achar os pontos em que as seguintes curvas têm tangentes paralelas ao eixo das abscissas:
(a)
(b)
©
(d)
Verifique se é possível encontrar um número real medida de área da região entre os gráficos de: e , situada à esquerda do eixo .