Verifique se é possível encontrar um número real medida de área da região entre os gráficos de:
, e
, à direita da reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se é possível calcular a área da região delimitada pelos gráficos das funções
,
(que é o eixo x) e pela reta
, mas apenas à direita dessa reta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de funções para encontrar áreas.
Passo 2
Vamos visualizar a região que queremos calcular. A função
é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. A reta
é uma linha vertical que corta a hipérbole no ponto
. O eixo
é simplesmente o eixo x. Queremos a área à direita de
, ou seja, para valores de
maiores que 1.
Passo 3
Para encontrar essa área, usamos a integral definida. A integral nos dá a soma das áreas infinitesimais sob a curva de uma função entre dois pontos. No nosso caso, vamos integrar a função
de
até o infinito, já que queremos a área toda à direita de
.
Passo 4
A fórmula da integral definida para nossa função é:
Agora, vamos calcular essa integral para ver se ela converge para um valor real.
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Então, aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, analisamos o limite
. Como o logaritmo de
cresce sem limites à medida que
aumenta, esse limite é infinito.
Resposta
Não é possível encontrar um número real que represente a área da região descrita, pois a área é infinita.
Exercícios relacionados
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Achar os pontos em que as seguintes curvas têm tangentes paralelas ao eixo das abscissas:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Verifique se é possível encontrar um número real medida de área da região entre os gráficos de:
e
, situada à esquerda do eixo
.