Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente aplicando regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar quocientes, produtos e funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos reescrever como o produto de duas funções:
Vamos chamar:
Assim, .

Passo 3

Agora, para achar a derivada de em relação a , usamos a regra do produto, que diz que se , então:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 4

Vamos começar com a derivada de :
Agora, derivamos termo a termo:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:
Substituindo:

Passo 7

Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 8

Juntando tudo:
Podemos fatorar termos semelhantes para simplificar ainda mais, mas essa já é uma expressão válida para a derivada.

Resposta

A derivada da função é

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(a)
(b)
©
(d)