Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral imprópria . Isso envolve o estudo de integrais onde a função não está bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. A função tem uma descontinuidade em porque, nesse ponto, o denominador se torna zero, tornando a função indefinida. Como está dentro do intervalo de a , precisamos dividir a integral nesse ponto para lidar com a descontinuidade.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais será tratada como um limite para lidar com a descontinuidade em .

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte: .
Fazendo uma substituição simples, deixe , então . Os limites de integração mudam para quando e quando . Assim, a integral fica:
Integrando , temos:
Agora, aplicamos os limites:
Isso significa que a primeira parte da integral tende a , ou seja, diverge.

Passo 5

Como a primeira parte da integral já diverge, não precisamos calcular a segunda parte. Se uma das partes de uma soma de integrais diverge, a integral total também diverge.

Resposta

A integral diverge para .

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