Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem: integral0^3(x-1)^-2 d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral imprópria integral0^3(x-1)^-2 , dx. Isso envolve o estudo de integrais onde a função não está bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. A função (x-1)^-2 tem uma descontinuidade em x=1 porque, nesse ponto, o denominador se torna zero, tornando a função indefinida. Como x=1 está dentro do intervalo de 0 a 3, precisamos dividir a integral nesse ponto para lidar com a descontinuidade.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes:
integral0^3(x-1)^-2 , dx = integral0^1(x-1)^-2 , dx + integral1^3(x-1)^-2 , dx
Cada uma dessas integrais será tratada como um limite para lidar com a descontinuidade em x=1.

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte: integral0^1(x-1)^-2 , dx.
Fazendo uma substituição simples, deixe u = x - 1, então du = dx. Os limites de integração mudam para u=-1 quando x=0 e u=0 quando x=1. Assim, a integral fica:
integral-1^0u^-2 , du
Integrando u^-2, temos:
-1u g|-1^0
Agora, aplicamos os limites:
-10 + 1-1 = -infty + (-1) = -infty
Isso significa que a primeira parte da integral tende a -infty, ou seja, diverge.

Passo 5

Como a primeira parte da integral já diverge, não precisamos calcular a segunda parte. Se uma das partes de uma soma de integrais diverge, a integral total também diverge.

Resposta

A integral integral0^3(x-1)^-2 , dx diverge para -infty.

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