Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
a) integral1^+infty x^-4 d x

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral imprópria, que é aquela onde um dos limites é infinito. A integral que vamos resolver é:
integral1^+infty x^-4 , dx
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais indefinidas e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a integral de uma potência de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . A regra básica é:
onde . No nosso caso, , então podemos aplicar essa regra.

Passo 3

Aplicando a regra de integração:
integral x^-4 , dx = x^-4+1-4+1 + C = x^-3-3 + C = -13x^-3 + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até integral1^+infty x^-4 , dx = limb to +infty [ -13x^-3 ]1^b . Como é um limite infinito, transformamos a integral em um limite:

Passo 5

Calculando o valor dentro do limite:
[ -13b^-3 ] - [ -13(1)^-3 ] = -13b^3 + 13

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limb to +infty ( -13b^3 + 13 ) = 0 + 13 = 13 tende a :

Resposta

A integral converge e o seu valor é .

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