Determine as derivadas laterais de , no ponto de abscissa .
A função é derivável neste ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas laterais da função no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas laterais, que faz parte do conteúdo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas laterais e tratar funções absolutas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . A função valor absoluto pode ser escrita de duas maneiras, dependendo do sinal da expressão dentro dele:
Isso significa que vamos ter duas expressões diferentes para dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos descobrir onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Resolvendo :
Então, a função muda de expressão nos pontos e . Como estamos interessados em , vamos focar nos intervalos à direita e à esquerda desse ponto.
Passo 4
Para próximo de 1, mas menor que 1 (), vamos escolher, por exemplo, :
Então, para , .
Para próximo de 1, mas maior que 1 (), por exemplo, :
Então, para , .
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas das duas expressões:
Para :
Para :
Passo 6
Vamos calcular as derivadas laterais em :
Derivada pela esquerda ():
Derivada pela direita ():
Passo 7
Agora, comparamos as derivadas laterais. Se as derivadas pela esquerda e pela direita fossem iguais, a função seria derivável em . No entanto, temos:
Resposta
As derivadas laterais de no ponto são e . Portanto, a função não é derivável neste ponto.