Determine as derivadas laterais de , no ponto de abscissa .
A função é derivável neste ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas laterais da função no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas laterais, que faz parte do conteúdo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas laterais e tratar funções absolutas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A função valor absoluto pode ser escrita de duas maneiras, dependendo do sinal da expressão dentro dele:
Isso significa que vamos ter duas expressões diferentes para dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos descobrir onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Resolvendo :
Então, a função muda de expressão nos pontos e . Como estamos interessados em , vamos focar nos intervalos à direita e à esquerda desse ponto.

Passo 4

Para próximo de 1, mas menor que 1 ( ), vamos escolher, por exemplo, :
Então, para , .
Para próximo de 1, mas maior que 1 ( ), por exemplo, :
Então, para , .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas das duas expressões:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos calcular as derivadas laterais em :
Derivada pela esquerda ( ):
Derivada pela direita ( ):

Passo 7

Agora, comparamos as derivadas laterais. Se as derivadas pela esquerda e pela direita fossem iguais, a função seria derivável em . No entanto, temos:

Resposta

As derivadas laterais de no ponto são e . Portanto, a função não é derivável neste ponto.

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a)
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