Verifique se a função definida por partes
é derivável no ponto de abscissa . A função é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função definida por partes
é derivável no ponto onde . Além disso, também queremos saber se essa função é contínua nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, e entender como aplicar esses conceitos em funções que mudam de expressão dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
  1. Limite pela esquerda ( ):
    Aqui, usamos a expressão .
  2. Limite pela direita ( ):
    Aqui, usamos a expressão .
  3. Valor da função em :
Como os dois limites são iguais a 4 e o valor da função em também é 4, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é derivável em . Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto (o que já verificamos) e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função:
  1. Derivada para ( ):
    Então, o limite da derivada pela esquerda em é:
  2. Derivada para ( ):
    Então, o limite da derivada pela direita em é:
  3. Comparando os limites:
Como os limites das derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas: e .
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
a)
Determine as derivadas laterais de , no ponto de abscissa .
A função é derivável neste ponto?