é derivável no ponto de abscissa . A função é contínua em ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função definida por partes
é derivável no ponto onde . Além disso, também queremos saber se essa função é contínua nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, e entender como aplicar esses conceitos em funções que mudam de expressão dependendo do valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
Limite pela esquerda ():
Aqui, usamos a expressão .
Limite pela direita ():
Aqui, usamos a expressão .
Valor da função em :
Como os dois limites são iguais a 4 e o valor da função em também é 4, a função é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é derivável em . Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto (o que já verificamos) e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função:
Derivada para ():
Então, o limite da derivada pela esquerda em é:
Derivada para ():
Então, o limite da derivada pela direita em é:
Comparando os limites:
Como os limites das derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não é derivável em .
Resposta
A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.