Verifique se a função definida por partes
é derivável no ponto de abscissa
. A função é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função definida por partes
é derivável no ponto onde
. Além disso, também queremos saber se essa função é contínua nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, e entender como aplicar esses conceitos em funções que mudam de expressão dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
-
Limite pela esquerda (
):
Aqui, usamos a expressão. -
Limite pela direita (
):
Aqui, usamos a expressão. -
Valor da função em
:
Como os dois limites são iguais a 4 e o valor da função em
também é 4, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é derivável em
. Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto (o que já verificamos) e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função:
-
Derivada para
( ): Então, o limite da derivada pela esquerda emé: -
Derivada para
( ): Então, o limite da derivada pela direita emé: -
Comparando os limites:
Como os limites das derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.