Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem: integralexp (1)^10 d xx ln (x) ln (ln (x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
integralexp(1)^10 dxx ln(x) ln(ln(x))
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente integrais impróprias.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm funções logarítmicas no denominador e verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral:
integralexp(1)^10 dxx ln(x) ln(ln(x))
Aqui, exp(1) é apenas e, então podemos reescrever a integral como:
integrale^10 dxx ln(x) ln(ln(x))

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln(ln(x))
Isso significa que precisamos encontrar du em termos de dx.

Passo 4

Calculando du:
u = ln(ln(x)) du = 1ln(x) cdot 1x dx du = dxx ln(x)
Observe que no denominador da nossa integral original temos x ln(x) ln(ln(x)) = x ln(x) cdot algo, e nosso du é dxx ln(x). Isso simplifica a integral.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral dxx ln(x) ln(ln(x)) = integral duu
Agora, a integral ficou bem mais simples: a integral de 1u du.

Passo 6

Integrando 1u du:
integral 1u du = ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando para a variável original x:
ln|u| + C = ln|ln(ln(x))| + C
Agora, vamos aplicar os limites de integração de x = e a x = 10.

Passo 8

Calculando os limites para u:
Quando x = e:
u = ln(ln(e)) = ln(1) = 0
Quando x = 10:
u = ln(ln(10))

Passo 9

Observando o limite inferior u = 0, percebemos que ln(0) não está definido; na verdade, tende a -infty. Isso indica que a integral possui uma descontinuidade no limite inferior e precisamos verificar o comportamento da integral.

Passo 10

Analisando o comportamento próximo a x = e:
Como u to 0, ln|u| to -infty, o que sugere que a integral pode divergir para -infty.

Passo 11

Portanto, conclui-se que a integral:
integrale^10 dxx ln(x) ln(ln(x))
diverge.

Resposta

A integral diverge.

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