Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente integrais impróprias.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm funções logarítmicas no denominador e verificar se a integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral:
Aqui,
é apenas
, então podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 4
Calculando
:
Observe que no denominador da nossa integral original temos
, e nosso
é
. Isso simplifica a integral.
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, a integral ficou bem mais simples: a integral de
.
Passo 6
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando para a variável original
:
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
.
Passo 8
Calculando os limites para
:
Quando
:
Quando
:
Passo 9
Observando o limite inferior
, percebemos que
não está definido; na verdade, tende a
. Isso indica que a integral possui uma descontinuidade no limite inferior e precisamos verificar o comportamento da integral.
Passo 10
Analisando o comportamento próximo a
:
Como
,
, o que sugere que a integral pode divergir para
.
Passo 11
Portanto, conclui-se que a integral:
diverge.
Resposta
A integral diverge.