Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente integrais impróprias.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm funções logarítmicas no denominador e verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral:
Aqui, é apenas , então podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que precisamos encontrar em termos de .

Passo 4

Calculando :
Observe que no denominador da nossa integral original temos , e nosso é . Isso simplifica a integral.

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, a integral ficou bem mais simples: a integral de .

Passo 6

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando para a variável original :
Agora, vamos aplicar os limites de integração de a .

Passo 8

Calculando os limites para :
Quando :
Quando :

Passo 9

Observando o limite inferior , percebemos que não está definido; na verdade, tende a . Isso indica que a integral possui uma descontinuidade no limite inferior e precisamos verificar o comportamento da integral.

Passo 10

Analisando o comportamento próximo a :
Como , , o que sugere que a integral pode divergir para .

Passo 11

Portanto, conclui-se que a integral:
diverge.

Resposta

A integral diverge.

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