Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar o Teorema da Comparação e determinar se a integral é convergente ou divergente. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente sobre a comparação de funções para analisar a convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Comparação. Esse teorema nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma integral comparando-a com outra integral cuja convergência ou divergência já é conhecida.

Passo 3

Vamos analisar a função que está dentro da integral: . Precisamos encontrar uma função que seja mais simples e que nos permita comparar com a função dada.

Passo 4

Observando a expressão , percebemos que para valores de , o termo domina, ou seja, . Portanto, podemos aproximar .

Passo 5

Assim, a função original pode ser aproximada por:
Então, escolhemos para comparar.

Passo 6

Sabemos que a integral é convergente, pois a antiderivada de é , e avaliando de 1 a conseguimos um valor finito.

Passo 7

Agora, verificamos a relação entre e . Para :
Isso satisfaz as condições do Teorema da Comparação.

Passo 8

Como é uma função que conhecemos ser convergente no intervalo de 1 a , e , pelo Teorema da Comparação, a integral original também é convergente.

Resposta

A integral é convergente pelo Teorema da Comparação.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano exterior à parábola e interior ao círculo .
Resolva as integrais das funções trigométricas:
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
a)