Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar o Teorema da Comparação e determinar se a integral
é convergente ou divergente. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente sobre a comparação de funções para analisar a convergência de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Comparação. Esse teorema nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma integral comparando-a com outra integral cuja convergência ou divergência já é conhecida.
Passo 3
Vamos analisar a função que está dentro da integral:
. Precisamos encontrar uma função
que seja mais simples e que nos permita comparar com a função dada.
Passo 4
Observando a expressão
, percebemos que para valores de
, o termo
domina, ou seja,
. Portanto, podemos aproximar
.
Passo 5
Assim, a função original pode ser aproximada por:
Então, escolhemos
para comparar.
Passo 6
Sabemos que a integral
é convergente, pois a antiderivada de
é
, e avaliando de 1 a
conseguimos um valor finito.
Passo 7
Agora, verificamos a relação entre
e
. Para
:
Isso satisfaz as condições do Teorema da Comparação.
Passo 8
Como
é uma função que conhecemos ser convergente no intervalo de 1 a
, e
, pelo Teorema da Comparação, a integral original também é convergente.
Resposta
A integral
é convergente pelo Teorema da Comparação.
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.
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a)
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