Determine os pontos extremos das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar os pontos extremos da função . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e propriedades de integrais. Vamos por partes para entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos extremos de uma função, a gente precisa achar onde a derivada dela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos derivar a função . Sabemos que é uma integral definida com limite superior , então podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integranda avaliada em .
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde . Vamos resolver:
A parte exponencial nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, a equação se reduz a:
Resolvendo essa equação:

Passo 5

Então, temos dois pontos críticos: e . Agora, vamos analisar a concavidade da função para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Para isso, vamos derivar para obter a segunda derivada :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, avaliamos nos pontos críticos:
Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo relativo.
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos extremos da função são:
  • Máximo relativo em
  • Mínimo relativo em

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a)
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