Determine os pontos extremos das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar os pontos extremos da função
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e propriedades de integrais. Vamos por partes para entender direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos extremos de uma função, a gente precisa achar onde a derivada dela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Vamos derivar a função
. Sabemos que
é uma integral definida com limite superior
, então podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integranda avaliada em
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar onde
. Vamos resolver:
A parte exponencial
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, a equação
se reduz a:
Resolvendo essa equação:
Passo 5
Então, temos dois pontos críticos:
e
. Agora, vamos analisar a concavidade da função para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Para isso, vamos derivar
para obter a segunda derivada
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo relativo.
Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os pontos extremos da função
são:
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
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Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
a)
a)
Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano exterior à parábola
e interior ao círculo
.
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem: