Determine os pontos extremos das funções: F(x)=integral1^x exp (-t^2 / 2)(1-t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é encontrar os pontos extremos da função . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e propriedades de integrais. Vamos por partes para entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos extremos de uma função, a gente precisa achar onde a derivada dela é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos derivar a função F'(x) = exp(-x^22)(1 - x^2) . Sabemos que é uma integral definida com limite superior , então podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada de uma integral com limite superior variável é igual à função integranda avaliada em .
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde exp(-x^22)(1 - x^2) = 0 . Vamos resolver:
1 - x^2 = 0
A parte exponencial x^2 = 1 implies x = pm 1 nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, a equação se reduz a:
Resolvendo essa equação:

Passo 5

Então, temos dois pontos críticos: F''(x) = ddx [ exp(-x^22)(1 - x^2) ] e F''(x) = exp(-x^22) cdot (-2x) cdot (1 - x^2) + exp(-x^22)(-2x) . Agora, vamos analisar a concavidade da função para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Para isso, vamos derivar F''(x) = exp(-x^22) cdot (-2x)(2 - x^2) para obter a segunda derivada :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, avaliamos F''(1) = exp(-12) cdot (-2)(2 - 1) = -2 exp(-12) < 0 nos pontos críticos:
Para F''(-1) = exp(-12) cdot (2)(2 - 1) = 2 exp(-12) > 0 :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo relativo.
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos extremos da função são:
  • Máximo relativo em
  • Mínimo relativo em

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