Resolva as integrais das funções trigométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral da função trigonométrica . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar e resolver a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica bem útil: . Isso vai nos ajudar a reescrever o numerador da fração.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
Isso simplifica a expressão e facilita a resolução.

Passo 4

Agora, vamos separar a fração em duas partes:
Isso nos dá duas integrais mais simples para resolver individualmente.

Passo 5

Observando a segunda fração, , podemos notar que ela é igual a . Então, substituindo de volta, a integral fica:
Simplificando:
O que resulta em:

Passo 6

Agora, precisamos resolver . Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos utilizar a identidade:
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula:
Aplicando os valores , e :

Passo 7

Voltando às integrais iniciais, substituímos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
a)
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: