Resolva as integrais das funções trigométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral da função trigonométrica
. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar e resolver a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica bem útil:
. Isso vai nos ajudar a reescrever o numerador da fração.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral, temos:
Isso simplifica a expressão e facilita a resolução.
Passo 4
Agora, vamos separar a fração em duas partes:
Isso nos dá duas integrais mais simples para resolver individualmente.
Passo 5
Observando a segunda fração,
, podemos notar que ela é igual a
. Então, substituindo de volta, a integral fica:
Simplificando:
O que resulta em:
Passo 6
Agora, precisamos resolver
. Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos utilizar a identidade:
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula:
Aplicando os valores
,
e
:
Passo 7
Voltando às integrais iniciais, substituímos:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
a)
a)
Resolva as integrais usando substituição trigonométrica: