Resolva as integrais das funções trigométricas: integral sin ^2(x) d x1+cos ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral da função trigonométrica . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar e resolver a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica bem útil: . Isso vai nos ajudar a reescrever o numerador da fração.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral 1 - cos^2(x)1 + cos^2(x) dx
Isso simplifica a expressão e facilita a resolução.

Passo 4

Agora, vamos separar a fração em duas partes:
integral ( 11 + cos^2(x) - cos^2(x)1 + cos^2(x) ) dx
Isso nos dá duas integrais mais simples para resolver individualmente.

Passo 5

Observando a segunda fração, integral 11 + cos^2(x) dx - integral (1 - 11 + cos^2(x)) dx , podemos notar que ela é igual a integral 11 + cos^2(x) dx - integral 1 dx + integral 11 + cos^2(x) dx . Então, substituindo de volta, a integral fica:
2 integral 11 + cos^2(x) dx - integral 1 dx
Simplificando:
O que resulta em:

Passo 6

Agora, precisamos resolver 1 + cos^2(x) = 3 + cos(2x)2 . Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos utilizar a identidade:
integral 23 + cos(2x) dx
Substituindo na integral:
integral dxa + b cos(kx) = 2raiza^2 - b^2 tan^-1( tan(kx2) a - braiza^2 - b^2 ) + C
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula:
integral 23 + cos(2x) dx = 4raiz8 tan^-1( tan(x) 2raiz8 ) + C = raiz2 tan^-1( tan(x)raiz2 ) + C
Aplicando os valores , e :

Passo 7

Voltando às integrais iniciais, substituímos:
2 times raiz2 tan^-1( tan(x)raiz2 ) - x + C
Simplificando:
2raiz2 tan^-1( tan(x)raiz2 ) - x + C

Resposta

A integral 2raiz2 tan^-1( tan(x)raiz2 ) - x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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