Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano exterior à parábola e interior ao círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão da integral que calcula a área da região que está fora da parábola e dentro do círculo . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria analítica para identificar os limites de integração e configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas curvas se comportam e onde elas se interceptam. A parábola abre para a direita, enquanto o círculo tem centro na origem e raio .
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo da parábola na equação do círculo:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Portanto, e . Encontrando os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Como não pode ser negativo, descartamos . Assim, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos visualizar a região que queremos calcular. A área desejada está fora da parábola e dentro do círculo , entre e .
Para configurar a integral, vamos integrar em relação a , de a . A função superior será a função do círculo resolvida para , e a função inferior será a função da parábola também resolvida para .
Resolvendo o círculo para :
E a parábola para :

Passo 4

A área entre as curvas pode ser calculada integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores. Como a região é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área acima do eixo e dobrar o resultado.
A integral para a parte positiva ( ) será:
Aqui, é a parte superior do círculo e é a parte superior da parábola. A diferença entre elas nos dá a altura da região que queremos calcular em cada ponto .

Passo 5

Então, juntando tudo, a expressão da integral que calcula a área da região desejada é:

Resposta

A expressão da integral que permite calcular a área é

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