Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano exterior à parábola
e interior ao círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão da integral que calcula a área da região que está fora da parábola
e dentro do círculo
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria analítica para identificar os limites de integração e configurar a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas duas curvas se comportam e onde elas se interceptam. A parábola
abre para a direita, enquanto o círculo
tem centro na origem e raio
.
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo
da parábola na equação do círculo:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Portanto,
e
. Encontrando os valores correspondentes de
:
Para
:
Para
:
Como
não pode ser negativo, descartamos
. Assim, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos visualizar a região que queremos calcular. A área desejada está fora da parábola
e dentro do círculo
, entre
e
.
Para configurar a integral, vamos integrar em relação a
, de
a
. A função superior será a função do círculo resolvida para
, e a função inferior será a função da parábola também resolvida para
.
Resolvendo o círculo para
:
E a parábola para
:
Passo 4
A área entre as curvas pode ser calculada integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores. Como a região é simétrica em relação ao eixo
, podemos calcular a área acima do eixo e dobrar o resultado.
A integral para a parte positiva (
) será:
Aqui,
é a parte superior do círculo e
é a parte superior da parábola. A diferença entre elas nos dá a altura da região que queremos calcular em cada ponto
.
Passo 5
Então, juntando tudo, a expressão da integral que calcula a área da região desejada é:
Resposta
A expressão da integral que permite calcular a área é
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Determine os pontos extremos das funções:
Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
Calcule as seguintes integrais impróprias ou mostre que divergem:
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: