Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(d) integral x^2(-x+x^-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida . Aqui, a gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente propriedades das potências, para resolver essa parada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando x^2 cdot (-x) + x^2 cdot x^-3 = -x^3 + x^-1 por integral (-x^3 + x^-1) dx e por , a gente tem:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, a gente vai integrar cada termo separadamente. A propriedade que usamos aqui é que a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja:
integral (-x^3) dx + integral x^-1 dx

Passo 4

Vamos integrar cada parte:
  1. Para integral -x^3 dx = -x^44 + C1 :
integral x^-1 dx = ln|x| + C2
Aqui, usamos a regra da potência, onde adicionamos 1 ao expoente e dividimos pelo novo expoente.
  1. Para :
Essa integral é especial porque a integral de é o logaritmo natural de .

Passo 5

Por fim, combinamos os resultados das duas integrais. Como são constantes de integração, a gente pode juntar -x^44 + ln|x| + C e em uma única constante :

Resposta

integral x^2(-x + x^-3) dx = -x^44 + ln|x| + C

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