Calcule as seguintes integrais indefinidas:
f. integral sen^2(w) cos ^2(3 w) d w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas elevadas ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das identidades para o quadrado do seno e do cosseno:
sen^2(x) = 1 - cos(2x)2
Vamos aplicar essas identidades na nossa integral.

Passo 3

Aplicando as identidades na integral:

Passo 4

Multiplicando os termos dentro da integral:
(1 - cos(2w)2) (1 + cos(6w)2) = 14 (1 - cos(2w) + cos(6w) - cos(2w)cos(6w))
Então, a integral fica:
integral 14 (1 - cos(2w) + cos(6w) - cos(2w)cos(6w)) , dw

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
14 integral (1 - cos(2w) + cos(6w) - cos(2w)cos(6w)) , dw
Para integrar cos(2w)cos(6w), vamos usar a identidade do produto para cossenos:
cos(A)cos(B) = cos(A+B) + cos(A-B)2

Passo 6

Aplicando a identidade:
cos(2w)cos(6w) = cos(8w) + cos(-4w)2 = cos(8w) + cos(4w)2
Substituindo na integral:
14 integral (1 - cos(2w) + cos(6w) - cos(8w) + cos(4w)2) , dw

Passo 7

Vamos separar a integral:
14 [ integral 1 , dw - integral cos(2w) , dw + integral cos(6w) , dw - 12 integral cos(8w) , dw - 12 integral cos(4w) , dw ]

Passo 8

Integrando cada termo:
integral 1 , dw = w
Aplicando isso:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral indefinida é:

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