Determine os valores de x para os quais f'(x)=0, f'(x)>0 e f'(x) < 0 no caso das seguintes funções:
c) f(x) = x^3/3 - 5/2 x^2 + 6 x - 7

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos descobrir para quais valores de a derivada dessa função, chamada de , é igual a zero, maior que zero e menor que zero. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente, o cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a . Para cada termo da função, aplicamos a regra básica de derivação:

Passo 3

Calculando cada derivada:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de onde , e .
Comecemos resolvendo :

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar essa equação:
Então, as soluções são e .

Passo 6

Para determinar onde e , analisamos o sinal de nos intervalos determinados pelas raízes encontradas: , e .
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :

Passo 7

Então, resumindo:
  • quando e
  • para e
  • para

Resposta

Os valores de que satisfazem:
  • são e
  • quando e
  • quando

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