Determine os valores de x para os quais f'(x)=0, f'(x)>0 e f'(x) < 0 no caso das seguintes funções:
b) f(x) = 3*x^2 + 12*x + 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores de onde a derivada da função é igual a zero, maior que zero e menor que zero. Isso envolve entender derivadas, uma parte do cálculo diferencial que nos ajuda a saber a inclinação da curva da função em cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e analisar os seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para uma função polinomial como , aplicamos a regra básica de derivação:
Calculando cada termo:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde . Isso acontece quando a inclinação da curva é zero, ou seja, o ponto é um ponto crítico (pode ser um mínimo, máximo ou um ponto de inflexão).
Resolvendo para :
Então, quando .

Passo 4

Vamos analisar onde e . Isso nos dirá onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada que encontramos é:
Para :
Então, para . Isso significa que a função está crescendo quando .
Para :
Então, para . Isso indica que a função está decrescendo quando .

Resposta

Os valores de são:
  • quando ,
  • para ,
  • para .

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