Calcule as seguintes integrais indefinidas:
h) integral cos (2 x) cdot 5^sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral indefinida de cos(2x) cdot 5^sin(2x) , dx. Vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas identificando uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece na integral. Observamos que a derivada de sin(2x) é 2cos(2x). Isso é importante porque a cos(2x) que está na nossa integral pode estar relacionada à derivada de sin(2x).

Passo 3

Vamos fazer a substituição: seja u = sin(2x). Agora, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = 2cos(2x) Rightarrow du = 2cos(2x) , dx
Isso nos dá:
cos(2x) , dx = du2

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral cos(2x) cdot 5^sin(2x) , dx = integral 5^u cdot du2 = 12 integral 5^u , du

Passo 5

Agora, precisamos integrar 5^u. Sabemos que:
integral a^u , du = a^uln a + C
Aplicando isso, temos:
12 integral 5^u , du = 12 cdot 5^uln 5 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão original:
5^sin(2x)2 ln 5 + C

Resposta

A integral é 5^sin(2x)2 ln 5 + C.

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