Mostre que as funções senh x, cosh x, tgh x são deriváveis em R e, além disso, tem-
lll se (a) senh^prime(x)=cosh x, & (b) cosh ^prime(x)=senh x e & (c) tgh^prime(x)=1cosh ^2 x=sech^2 x para todo x in R. (Aula 9 do caderno didático, exercício proposto n ㅇ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções hiperbólicas senh x, cosh x e tgh x são deriváveis em todo o conjunto dos números reais R. Além disso, queremos encontrar as derivadas dessas funções, que são dadas por:
  • (a) senh^prime(x) = cosh x
  • (b) cosh^prime(x) = senh x
  • © tgh^prime(x) = 1cosh^2 x = sech^2 x
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções hiperbólicas e entender como calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno, ou seja, senh x. A definição dela é:
senh x = e^x - e^-x2
Essa função é uma combinação de funções exponenciais, que são diferenciáveis em todo R. Portanto, senh x é diferenciável em todo domínio real.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de senh x. Aplicando a regra de derivação para funções exponenciais:
senh^prime x = ddx( e^x - e^-x2 ) = e^x + e^-x2 = cosh x
Então, mostramos que senh^prime(x) = cosh x, confirmando o item (a).

Passo 4

Agora, vamos analisar a função hiperbólica cosseno, cosh x. A definição dela é:
cosh x = e^x + e^-x2
Assim como senh x, a função cosh x é composta por funções exponenciais, que são diferenciáveis em todo R. Logo, cosh x é diferenciável em todo domínio real.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de cosh x:
cosh^prime x = ddx( e^x + e^-x2 ) = e^x - e^-x2 = senh x
Assim, mostramos que cosh^prime(x) = senh x, confirmando o item (b).

Passo 6

Por fim, vamos analisar a função hiperbólica tangente, tgh x, que é definida como:
tgh x = senh xcosh x = e^x - e^-x2e^x + e^-x2 = e^x - e^-xe^x + e^-x
Como tanto o numerador quanto o denominador são diferenciáveis em R e o denominador nunca é zero, podemos usar a regra da derivada para quocientes.

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para derivar tgh x:
tgh^prime x = (senh x)^prime cosh x - senh x (cosh x)^prime(cosh x)^2
Substituindo as derivadas que já encontramos:
tgh^prime x = cosh x cdot cosh x - senh x cdot senh xcosh^2 x = cosh^2 x - senh^2 xcosh^2 x
Sabemos que cosh^2 x - senh^2 x = 1, então:
tgh^prime x = 1cosh^2 x = sech^2 x
Portanto, mostramos que tgh^prime(x) = 1cosh^2 x = sech^2 x, confirmando o item ©.

Resposta

Concluímos que as funções senh x, cosh x e tgh x são diferenciáveis em R, e suas derivadas são:
  • senh^prime(x) = cosh x
  • cosh^prime(x) = senh x
  • tgh^prime(x) = 1cosh^2 x = sech^2 x

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