Mostre que as funções são deriváveis em e, além disso, tem-
para todo . (Aula 9 do caderno didático, exercício proposto n ㅇ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções hiperbólicas , e são deriváveis em todo o conjunto dos números reais . Além disso, queremos encontrar as derivadas dessas funções, que são dadas por:
  • (a)
  • (b)
  • ©
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções hiperbólicas e entender como calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno, ou seja, . A definição dela é:
Essa função é uma combinação de funções exponenciais, que são diferenciáveis em todo . Portanto, é diferenciável em todo domínio real.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Aplicando a regra de derivação para funções exponenciais:
Então, mostramos que , confirmando o item (a).

Passo 4

Agora, vamos analisar a função hiperbólica cosseno, . A definição dela é:
Assim como , a função é composta por funções exponenciais, que são diferenciáveis em todo . Logo, é diferenciável em todo domínio real.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Assim, mostramos que , confirmando o item (b).

Passo 6

Por fim, vamos analisar a função hiperbólica tangente, , que é definida como:
Como tanto o numerador quanto o denominador são diferenciáveis em e o denominador nunca é zero, podemos usar a regra da derivada para quocientes.

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para derivar :
Substituindo as derivadas que já encontramos:
Sabemos que , então:
Portanto, mostramos que , confirmando o item ©.

Resposta

Concluímos que as funções , e são diferenciáveis em , e suas derivadas são:

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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
f)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
c)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
b)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
h)