Mostre que as funções
são deriváveis em
e, além disso, tem-
para todo
. (Aula 9 do caderno didático, exercício proposto n ㅇ)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções hiperbólicas
,
e
são deriváveis em todo o conjunto dos números reais
. Além disso, queremos encontrar as derivadas dessas funções, que são dadas por:
- (a)
- (b)
- ©
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções hiperbólicas e entender como calcular derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno, ou seja,
. A definição dela é:
Essa função é uma combinação de funções exponenciais, que são diferenciáveis em todo
. Portanto,
é diferenciável em todo domínio real.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. Aplicando a regra de derivação para funções exponenciais:
Então, mostramos que
, confirmando o item (a).
Passo 4
Agora, vamos analisar a função hiperbólica cosseno,
. A definição dela é:
Assim como
, a função
é composta por funções exponenciais, que são diferenciáveis em todo
. Logo,
é diferenciável em todo domínio real.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Assim, mostramos que
, confirmando o item (b).
Passo 6
Por fim, vamos analisar a função hiperbólica tangente,
, que é definida como:
Como tanto o numerador quanto o denominador são diferenciáveis em
e o denominador nunca é zero, podemos usar a regra da derivada para quocientes.
Passo 7
Aplicando a regra do quociente para derivar
:
Substituindo as derivadas que já encontramos:
Sabemos que
, então:
Portanto, mostramos que
, confirmando o item ©.
Resposta
Concluímos que as funções
,
e
são diferenciáveis em
, e suas derivadas são:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
f)
f)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
c)
c)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
h)
h)