Considere dois pontos
e
fixados fora de uma reta
. Encontre o ponto da reta
, cuja soma das distâncias aos pontos
e
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos fixos,
e
, que estão fora de uma reta
. A missão é encontrar um ponto na reta
onde a soma das distâncias desse ponto até
e
seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e reflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para minimizar a soma das distâncias de um ponto até dois pontos fixos, podemos usar o método da reflexão. Isso significa que vamos refletir um dos pontos, digamos
, em relação à reta
. A reflexão de
em
será chamada de
.
Passo 3
Agora que temos o ponto refletido
, vamos traçar uma linha que conecta o ponto
com
. Essa linha vai cortar a reta
em algum ponto. Esse ponto de interseção será o ponto
que estamos procurando.
Passo 4
Por que isso funciona? Bem, ao refletir
para
, estamos basicamente transformando o problema de minimizar a soma das distâncias em um problema de encontrar a distância mais curta entre
e
passando por
. O ponto onde essa linha corta
garante que a soma das distâncias de
a
e de
a
seja a mínima possível.
Resposta
O ponto na reta
que minimiza a soma das distâncias até
e
é o ponto de interseção entre
e a linha que liga
ao reflexo de
em
, ou seja, o ponto
onde a linha
cruza
.
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Entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura, encontre o que tem perímetro máximo.
Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos onde são crescentes e decrescentes, os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de inflexão.
(a)
(b)
© .
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Determine a seguinte integral: