Considere dois pontos e fixados fora de uma reta . Encontre o ponto da reta , cuja soma das distâncias aos pontos e seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos fixos, e , que estão fora de uma reta . A missão é encontrar um ponto na reta onde a soma das distâncias desse ponto até e seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e reflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para minimizar a soma das distâncias de um ponto até dois pontos fixos, podemos usar o método da reflexão. Isso significa que vamos refletir um dos pontos, digamos , em relação à reta . A reflexão de em será chamada de .

Passo 3

Agora que temos o ponto refletido , vamos traçar uma linha que conecta o ponto com . Essa linha vai cortar a reta em algum ponto. Esse ponto de interseção será o ponto que estamos procurando.

Passo 4

Por que isso funciona? Bem, ao refletir para , estamos basicamente transformando o problema de minimizar a soma das distâncias em um problema de encontrar a distância mais curta entre e passando por . O ponto onde essa linha corta garante que a soma das distâncias de a e de a seja a mínima possível.

Resposta

O ponto na reta que minimiza a soma das distâncias até e é o ponto de interseção entre e a linha que liga ao reflexo de em , ou seja, o ponto onde a linha cruza .

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Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos onde são crescentes e decrescentes, os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de inflexão.
(a)
(b)
© .
(d)
(e)
(f)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Determine a seguinte integral: