Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Então, temos que calcular a integral indefinida de . Vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais, que envolve simplificar a fração antes de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e, possivelmente, decompor a fração em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. O denominador é , que pode ser fatorado por fator comum:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:

Passo 4

Vamos decompor a fração em frações parciais. Procuramos números e tais que:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Expandimos e coletamos os termos semelhantes:

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações para encontrar e :
De , substituímos na primeira equação:

Passo 9

Agora, substituímos os valores de e de volta na decomposição:

Passo 10

Podemos agora escrever a integral como a soma de duas integrais mais simples:

Passo 11

Calculamos cada integral separadamente. Sabemos que:

Passo 12

Aplicamos as integrais e somamos os resultados:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Suponha que
Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de no ponto 1 e compare o resultado com o do item (a).
Considere cada uma das funções abaixo e determine o limite, caso exista, para quando : ;
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule os seguintes limites: