Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 4 x+2x^2+x d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral indefinida de 4x + 2x^2 + x , dx. Vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais, que envolve simplificar a fração antes de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e, possivelmente, decompor a fração em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. O denominador é x^2 + x, que pode ser fatorado por fator comum:
x^2 + x = x(x + 1)

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
integral 4x + 2x(x + 1) , dx

Passo 4

Vamos decompor a fração 4x + 2x(x + 1) em frações parciais. Procuramos números A e B tais que:
4x + 2x(x + 1) = Ax + Bx + 1

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x(x + 1) para eliminar os denominadores:
4x + 2 = A(x + 1) + Bx

Passo 6

Expandimos e coletamos os termos semelhantes:
4x + 2 = Ax + A + Bx 4x + 2 = (A + B)x + A

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 4 A = 2

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações para encontrar A e B:
De A = 2, substituímos na primeira equação:
2 + B = 4 B = 2

Passo 9

Agora, substituímos os valores de A e B de volta na decomposição:
4x + 2x(x + 1) = 2x + 2x + 1

Passo 10

Podemos agora escrever a integral como a soma de duas integrais mais simples:
integral ( 2x + 2x + 1 ) dx = 2 integral 1x , dx + 2 integral 1x + 1 , dx

Passo 11

Calculamos cada integral separadamente. Sabemos que:
integral 1x , dx = ln|x| + C integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C

Passo 12

Aplicamos as integrais e somamos os resultados:
2 ln|x| + 2 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a 2, ln|x| + 2, ln|x + 1| + C, onde C é a constante de integração.

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