Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Então, temos que calcular a integral indefinida de
. Vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais, que envolve simplificar a fração antes de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e, possivelmente, decompor a fração em termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração. O denominador é
, que pode ser fatorado por fator comum:
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador fatorado:
Passo 4
Vamos decompor a fração
em frações parciais. Procuramos números
e
tais que:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Expandimos e coletamos os termos semelhantes:
Passo 7
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações para encontrar
e
:
De
, substituímos na primeira equação:
Passo 9
Agora, substituímos os valores de
e
de volta na decomposição:
Passo 10
Podemos agora escrever a integral como a soma de duas integrais mais simples:
Passo 11
Calculamos cada integral separadamente. Sabemos que:
Passo 12
Aplicamos as integrais e somamos os resultados:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Suponha que
Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de no ponto
1 e compare o resultado com o do item (a).
Use os métodos do cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de
Considere cada uma das funções abaixo e determine o limite, caso exista, para quando
:
;
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule os seguintes limites: