Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral cos thetasen^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o seno de . Queremos simplificar a fração . Uma boa estratégia é fazer uma substituição onde , porque isso vai facilitar a integração.

Passo 3

Fazendo a substituição , precisamos calcular a derivada de du = cos theta , dtheta em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral original:
A expressão ficou mais simples e agora temos uma integral em termos de integral cos thetasen^2 theta dtheta = integral 1u^2 du .

Passo 5

A integral de integral 1u^2 du = -1u + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original -1u + C = -1sen theta + C . Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos também escrever isso como , já que é o cosecante de .

Resposta

A integral indefinida é:

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