Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral cos ^3 x sen^2 x d x

Passo 1

Então, a gente vai resolver a integral indefinida . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Podemos reescrever isso como para facilitar o que vem a seguir.

Passo 3

Agora, lembrando da identidade trigonométrica , vamos substituir cos^3 x = cos x cdot (1 - sen^2 x) na nossa expressão. Assim, temos:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, ficamos com:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, a derivada de u = sen x em relação a du = cos x , dx é:

Passo 6

Substituindo integral (sen^2 x - sen^4 x) cdot cos x , dx = integral (u^2 - u^4) , du e integral u^2 , du - integral u^4 , du = u^33 - u^55 + C na integral, temos:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Finalmente, substituindo de volta na expressão, obtemos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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