Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral sec ^4 x tg^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral indefinida: . O assunto principal aqui é cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que podem ajudar:
Vamos usar a primeira identidade para simplificar .

Passo 3

Expressamos tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2 em termos de integral sec^4 x (sec^2 x - 1)^2 , dx :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos expandir (sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1 :
integral sec^4 x (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) , dx = integral (sec^8 x - 2sec^6 x + sec^4 x) , dx
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, a gente tem que integrar cada termo separadamente:
integral sec^8 x , dx - 2integral sec^6 x , dx + integral sec^4 x , dx
Integrar potências altas de secante pode ser complicado, então vamos tentar uma substituição. Vamos usar , daí .

Passo 6

Vamos reescrever a integral original usando integral sec^4 x tan^4 x , dx = integral sec^2 x cdot sec^2 x tan^4 x , dx :
integral sec^2 x cdot (tan^4 x) cdot sec^2 x , dx = integral u^4 cdot sec^2 x , dx = integral u^4 , du
Como , podemos substituir:

Passo 7

Agora, integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, voltamos à variável original u^55 + C = tan^5 x5 + C :

Resposta

A integral de é igual a .

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