Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral indefinida:
. O assunto principal aqui é cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas que podem ajudar:
Vamos usar a primeira identidade para simplificar
.
Passo 3
Expressamos
em termos de
:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Agora, a gente tem que integrar cada termo separadamente:
Integrar potências altas de secante pode ser complicado, então vamos tentar uma substituição. Vamos usar
, daí
.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original usando
:
Como
, podemos substituir:
Passo 7
Agora, integrar
em relação a
é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Por fim, voltamos à variável original
:
Resposta
A integral de
é igual a
.