Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral e^2 x sen(e^2 x)cos (e^2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Isso significa que é uma função do , e precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando a derivada de dtdx = 2 e^2x em relação a dt = 2 e^2x , dx :
dx = dt2 e^2x = dt2 t
Isso quer dizer que:
Agora, podemos isolar :
(Sempre substituímos por porque ).

Passo 4

Agora, vamos substituir integral e^2x sen(e^2x)cos(e^2x) , dx = integral t sen(t)cos(t) cdot dt2 t e = 12 integral sen(t)cos(t) , dt na integral original:
Aqui, no numerador e denominador se cancelam:

Passo 5

A integral é conhecida como a integral da tangente. Sabemos que:
integral tan(t) , dt = -ln|cos(t)| + C
Então, aplicando isso:
12 integral tan(t) , dt = 12 ( -ln|cos(t)| ) + C
= -12 ln|cos(t)| + C

Passo 6

Agora, lembrando que fizemos a substituição -12 ln|cos(e^2x)| + C , vamos voltar para a variável original :

Resposta

A integral indefinida é igual a integral e^2 x sen(e^2 x)cos (e^2 x) , dx = -12 ln|cos(e^2x)| + C , onde é a constante de integração.

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