Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
y = -x + 1, y = 0, x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas equações , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As equações , (que é o eixo ) e (que é o eixo ) formam um triângulo no primeiro quadrante. Os pontos de interseção são:
  • Quando , (ponto )
  • Quando , (ponto )
Então, nosso intervalo de integração vai de até .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em discos infinitesimais com espessura . A área de cada disco é . No nosso caso, o raio de cada disco é dado pela função . Portanto, a expressão para o volume é:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando cada termo:
Então,
Substituindo os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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