Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas equações
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As equações
,
(que é o eixo
) e
(que é o eixo
) formam um triângulo no primeiro quadrante. Os pontos de interseção são:
- Quando
, (ponto ) - Quando
, (ponto )
Então, nosso intervalo de integração vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em discos infinitesimais com espessura
. A área de cada disco é
. No nosso caso, o raio de cada disco é dado pela função
. Portanto, a expressão para o volume
é:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando cada termo:
Então,
Substituindo os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.