Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral cotg^3 x csc ^4 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida de cot^3 x csc^4 x , dx. Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração. Para resolver, vamos usar substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que cot x = cos xsin x e csc x = 1sin x. Também sabemos que a derivada de cot x é - csc^2 x. Isso será útil para a substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = cot x. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = -csc^2 x , dx
Isso significa que:
csc^2 x , dx = -du

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral original em termos de u:
integral cot^3 x csc^4 x , dx = integral cot^3 x cdot csc^2 x cdot csc^2 x , dx
Substituindo u = cot x e csc^2 x , dx = -du:
= integral u^3 cdot csc^2 x cdot (-du)
= -integral u^3 cdot csc^2 x , du

Passo 5

Precisamos expressar csc^2 x em termos de u. Sabemos que:
csc^2 x = 1 + cot^2 x = 1 + u^2
Substituindo na integral:
- integral u^3 (1 + u^2) , du
= - integral (u^3 + u^5) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
- ( integral u^3 , du + integral u^5 , du )
= - ( u^44 + u^66 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u = cot x de volta:
- ( cot^4 x4 + cot^6 x6 ) + C
Ou, reorganizando:
- 14 cot^4 x - 16 cot^6 x + C

Resposta

A integral indefinida é:
- 14 cot^4 x - 16 cot^6 x + C

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