Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral tg^4 x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente tangente ( ) e secante ( ). Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável u = tan x para simplificar. Olhando para dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx , percebemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos escolher:
Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando nossa substituição integral tan^4 x sec^2 x , dx = integral u^4 , du :
Agora a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 4

Vamos integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos u^55 + C = tan^5 x5 + C de volta por para expressar a resposta em termos da variável original :

Resposta

A integral é igual a .

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