Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral(raiz[3]x^2-3x^3+raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui. Temos que calcular a integral indefinida da função:
integral(raiz[3]x^2 - 3x^3 + raizx) dx
Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada seja igual a essa expressão. Para resolver isso, vamos usar as regras de integração para cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada termo da integral para facilitar a matemática:
  • raiz[3]x^2 pode ser escrita como x^2/3
  • raizx é igual a x^1/2
  • -3x^3 é o mesmo que -3x^-3
Então, a integral fica:
integral ( x^2/3 - 3x^-3 + x^1/2 ) dx

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra básica de integração para potências de x, que é:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1.
Vamos aplicar essa regra a cada termo da nossa integral.

Passo 4

Integrando o primeiro termo x^2/3:
Aplicando a regra, temos:
integral x^2/3 dx = x^2/3 + 12/3 + 1 = x^5/35/3 = 35 x^5/3

Passo 5

Integrando o segundo termo -3x^-3:
Primeiro, tiramos o coeficiente -3 para fora da integral:
-3 integral x^-3 dx = -3 cdot x^-3 +1-3 +1 = -3 cdot x^-2-2 = 32 x^-2 = 32 cdot 1x^2

Passo 6

Integrando o terceiro termo x^1/2:
Aplicando a regra novamente:
integral x^1/2 dx = x^1/2 +11/2 +1 = x^3/23/2 = 23 x^3/2

Resposta

Juntando todas as integrais calculadas, a solução final é:
35 x^5/3 + 32 cdot 1x^2 + 23 x^3/2 + C
onde C é a constante de integração.

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