Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral e^x sec ^2(e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral indefinida que precisa resolver: . Esse tipo de problema envolve cálculo, mais especificamente, técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição, que é uma maneira de simplificar a integral mudando de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Isso nos ajuda a transformar a integral em uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = e^x em relação a du = e^x dx para substituir o na integral. Então, derivando , temos:
Isso significa que:
Ou seja, podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral sec^2(u) du
Essa integral é bem conhecida e fácil de resolver. A integral de em relação a é .

Passo 5

Então, a integral fica:
tan(u) + C
Agora, voltamos à variável original substituindo tan(e^x) + C por :
Onde é a constante de integração.

Resposta

tan(e^x) + C

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