Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral raiztg x sec ^2 x d x

Passo 1

E aí! Vamos calcular a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e integrais, então vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável u = tan x . Observamos que temos dentro da raiz e também , que é a derivada de . Isso sugere que podemos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = sec^2x Rightarrow du = sec^2x , dx em relação a para encontrar :
Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 4

Substituindo integral raiztan x cdot sec^2x , dx = integral raizu , du e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
Aqui, é a constante de integração, que sempre adicionamos em integrais indefinidas.

Passo 6

Por último, substituímos 23 u^3/2 + C = 23 (tan x)^3/2 + C de volta em termos de :

Resposta

23 tan^3/2x + C

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