Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral raiz4 x-1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral raiz4x - 1 , dx. Para isso, vamos utilizar o método de substituição, uma técnica que simplifica a integral ao mudar de variável e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Observamos que dentro da raiz temos 4x - 1. Vamos chamar essa expressão de u:
u = 4x - 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados:
dudx = 4 Rightarrow du = 4 , dx Rightarrow dx = du4

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral raiz4x - 1 , dx = integral raizu cdot du4 = 14 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, integramos u^1/2. A regra para integrar u^n é:
integral u^n , du = u^n + 1n + 1 + C
Aplicando isso:
14 integral u^1/2 , du = 14 cdot u^3/23/2 + C = 16 u^3/2 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por 4x - 1 para retornar à variável original:
16 u^3/2 + C = 16 (4x - 1)^3/2 + C

Resposta

integral raiz4x - 1 , dx = 16 (4x - 1)^3/2 + C

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