d) sumn=1^infty(-1)^n 1n

Passo 1

Então, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício que a gente tem aqui: . O que temos aqui é uma série infinita que alterna os sinais dos termos. A matéria que vamos precisar para resolver isso envolve séries alternadas e o Teste da Série Alternada. Vamos precisar entender como funcionam essas séries e como verificar se elas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela onde os termos mudam de sinal a cada passo. No nosso caso, -1 + 12 - 13 + 14 - 15 + dots faz com que os sinais alternem entre negativo e positivo conforme aumenta. Então, nossa série fica assim:

Passo 3

Agora, para saber se essa série converge (ou seja, se ela soma a algum valor finito), vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos e diminuem monotonamente (cada termo é menor que o anterior).
  2. O limite dos termos quando vai ao infinito é zero.

Passo 4

Vamos verificar essas duas condições para a nossa série limn to infty 1n = 0 :
  1. Positividade e Decrescimento: Aqui, . Claramente, é positivo para todo . Além disso, conforme aumenta, diminui. Então, essa primeira condição está satisfeita.
  2. Limite dos Termos: Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
    Então, o limite também é zero, satisfazendo a segunda condição.

Passo 5

Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série converge.

Passo 6

Agora, vamos descobrir para qual valor a série converge. Sabemos que a série alternada é conhecida como a série harmônica alternada. Ela converge para . Isso vem do fato de que a série harmônica alternada é igual a .

Resposta

A série converge e seu valor é .

Exercícios relacionados