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Passo 1
Então, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício que a gente tem aqui:
. O que temos aqui é uma série infinita que alterna os sinais dos termos. A matéria que vamos precisar para resolver isso envolve séries alternadas e o Teste da Série Alternada. Vamos precisar entender como funcionam essas séries e como verificar se elas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela onde os termos mudam de sinal a cada passo. No nosso caso,
faz com que os sinais alternem entre negativo e positivo conforme
aumenta. Então, nossa série fica assim:
Passo 3
Agora, para saber se essa série converge (ou seja, se ela soma a algum valor finito), vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos e diminuem monotonamente (cada termo é menor que o anterior). - O limite dos termos
quando vai ao infinito é zero.
Passo 4
Vamos verificar essas duas condições para a nossa série
:
-
Positividade e Decrescimento: Aqui,
. Claramente, é positivo para todo . Além disso, conforme aumenta, diminui. Então, essa primeira condição está satisfeita. -
Limite dos Termos: Calculamos o limite de
quando tende ao infinito: Então, o limite também é zero, satisfazendo a segunda condição.
Passo 5
Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Passo 6
Agora, vamos descobrir para qual valor a série converge. Sabemos que a série alternada
é conhecida como a série harmônica alternada. Ela converge para
. Isso vem do fato de que a série harmônica alternada é igual a
.
Resposta
A série
converge e seu valor é
.