Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a. integral sen(4 theta) cos (theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa aqui. O exercício pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar o produto de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil que é a seguinte:
sin(A)cos(B) = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Essa identidade nos ajuda a transformar o produto de seno e cosseno em uma soma de senos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde sin(4theta)cos(theta) = 12 [sin(4theta + theta) + sin(4theta - theta)] = 12 [sin(5theta) + sin(3theta)] e integral sin(4theta)cos(theta) dtheta = 12 integral [sin(5theta) + sin(3theta)] dtheta , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral sin(ktheta) dtheta = -1k cos(ktheta) + C em rela��ão a é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando isso aos nossos termos:
12 integral sin(5theta) dtheta = 12 ( -15 cos(5theta) ) = -110 cos(5theta)
e
12 integral sin(3theta) dtheta = 12 ( -13 cos(3theta) ) = -16 cos(3theta)

Passo 6

Somando os resultados das integrais, temos:
-110 cos(5theta) - 16 cos(3theta) + C

Resposta

A integral de -110 cos(5theta) - 16 cos(3theta) + C é:

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