Seja C definido ao longo de um arco , indo de até . Calcule a integral . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um arco específico no plano complexo. Aqui, estamos trabalhando com integração de funções complexas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos básicos de integração no plano complexo e como trabalhar com integrais em caminhos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que precisamos integrar: . Podemos simplificar essa fração dividindo cada termo pelo denominador:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Isso significa que vamos calcular duas integrais separadas e depois somar os resultados.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral: . Essa integral representa o deslocamento ao longo do caminho . Como é um arco que vai de até , o deslocamento total é:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral: . Para funções da forma integradas ao longo de um caminho que envolve a origem, usamos o resultado da integral de contorno:
Aqui, é a variação do ângulo ao longo do caminho. Como estamos indo de a em um arco de círculo unitário, a variação do ângulo é radianos (meia volta). Então,

Passo 6

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

b) mostre que
Calcule as derivadas das seguintes funções:
b)
Nos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando .
Calcule as seguintes integrais indefinidas.