Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral(t-1)(2+t^2) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral(t-1)(2+t^2) d t. Esse exercício envolve o cálculo de integrais de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a propriedade de distribuição da multiplicação sobre a adição e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir (t - 1) sobre (2 + t^2). Isso significa multiplicar cada termo dentro do segundo parêntese pelo primeiro termo fora dele.
(t - 1)(2 + t^2) = t cdot 2 + t cdot t^2 - 1 cdot 2 - 1 cdot t^2 = 2t + t^3 - 2 - t^2
Então, a integral fica:
integral (2t + t^3 - 2 - t^2) dt

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica da integração de potências nos diz que:
integral t^n dt = t^n+1n+1 + C
Aplicando essa regra a cada termo:
  • Para 2t:
integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2
  • Para t^3:
integral t^3 , dt = t^44
  • Para -2:
integral -2 , dt = -2t
  • Para -t^2:
integral -t^2 , dt = -t^33

Passo 4

Agora, somamos todas as integrais encontradas e adicionamos a constante de integração C:
t^2 + t^44 - 2t - t^33 + C

Resposta

A integral indefinida é:
t^2 + t^44 - 2t - t^33 + C

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