Questão 2 Considere a função f(x, y) = cos(x^2 + y^2).
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto (0, raiz(pi / 2)) na direção do vetor unitário u = (1/2, raiz(3)/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor unitário . Isso está no conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, o vetor gradiente e, por fim, aplicar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor gradiente no ponto dado .
Primeiro, substituímos e nas derivadas parciais:
Simplificando dentro do seno:
Portanto,
Então, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a fórmula da derivada direcional:
Onde representa o produto escalar. Sabemos que .
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor unitário é .

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